Bem pessoal, estamos de volta. Nossa última abordagem consistiu na análise de equações de espécies interagentes, onde as relações encontradas devem ser obedecidas por todas as soluções do sistema de Lotka-Volterra (releia post anterior). Chegamos a uma relação que descreveria o comportamento do crescimento (ou decrescimento) populacional de presas e predadores. A pergunta que ficou no ar foi como a equação encontrada se comportaria graficamente, em um plano de fase. Vamos ver vamos ver...
A equação encontrada foi a seguinte:
Onde H é uma constante.
Para cada valor de H podemos traçar no plano P x V o lugar geométrico dos pontos que obedecem a equação acima. Mas como seria isso graficamente?
Bem, ai está o comportamento gráfico da nossa equação. No eixo y temos o número de predadores e no eixo x temos o número de presas. Faz sentido com o que discutimos no post passado? Lá, nós tinhamos chegado a conclusão de que o número de presas depende do número de predadores, e vice-versa. Quando o número de presas é grande, ele tende a diminuir na presença de predadores e, consequentemente, o número de predadores aumenta. Porém, a partir do momento que o número de presas diminui, o número de predadores também deve diminuir, devido a ausência de presas. Logo, com a diminuição de predadores, o número de presas volta a aumentar! EM UM CICLO PERIÓDICO! E é justamente isso que vemos no gráfico.
O plano P x V, como já foi dito, é conhecido como plano de fase, ou de espaço de fase. As curvas são conhecidas como trajetórias ou de órbitas. No caso exposto no gráfico, temos órbitas fechadas.
Tome um ponto no espaço de fase. Ele representa um certo número de presas e predadores. Por este ponto passa uma curva. Com o correr do tempo, estas populações evoluem percorrendo a curva no espaço de fase. Depois de um certo tempo, voltarão à situação inicial. O sistema é periódico.
Vamos tratar de uma forma mais simples, observe a figura abaixo:
Note que na figura tomamos um ponto no plano P x V e o seguimos no tempo. Vamos ver como evolui a variável V (as presas, eixo x):
- de 1 até 3 seu número aumenta;
- de 3 até 8 seu número diminui;
- e de 8 até 3 aumenta de novo e assim por diante.
Logo, percebemos que o número de presas e o número de predadores oscila periodicamente no tempo. Veja como tudo se encaixa com o que foi dito anteriormente. Tudo muito bonito.
As equações de Lotka-Volterra nos dizem que seja um número pequeno de predadores e um certo número de presas, com disponibilidade de presas, o número de predadores vai aumentando. As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Depois de um certo tempo, começam a diminuir. Após um certo tempo, o predadores atingem o seu máximo, e por falta de comida começam a diminuir também. Depois de alcançarem seu número mínimo, as presas começam a se recuperar, pois o número de predadores já é menor. E assim por diante, em um ciclo periódico.
Tendo em vista a funcionalidade das equações de Lotka-Volterra, chegamos a seguinte questão, as equações descrevem situações reais? Bem, em parte sim. Mas fica claro que ela tem alguns elementos irrealistas.
- O crescimento das presas na ausência de predadores seria exponencial e não logístico. Não contém mecanismos de saturação
- Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV - d). Quanto maior V, maior a taxa de crescimento. Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature. Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas.
- Equações levando isto em conta podem ser escritas. De uma forma geral, continuamos tendo oscilações.
De modo que podemos tirar da equação de Lotka-Volterra o seguinte: apesar de ser um modelo sobressimplificado da dinâmica de predadores e presas, ela captura uma feição geral, que é a existência de oscilações, ou em outras palavras, de periodicidade. Em suma, as equações de Lotka-Volterra são antes um ponto de partida do que um ponto de chegada na construção de modelos matemáticos envolvendo predação. Até a próxima pessoal!
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