Dinâmica das Populações: Espécies Interagentes

E ai pessoal, estamos de volta ao trabalho. Bem, até onde discutimos chegamos a equação logística. Falamos sobre suas utilidades, analisamos graficamente e por fim abordamos algumas de suas limitações. Até agora, temos um bom arsenal para trabalharmos com a dinâmica das populações, mas como já foi dito no post anterior, muita coisa ainda falta ser introduzida nas nossas discussões.

Nessa semana introduziremos os conceitos de espécies interagentes. Nossos calculos vão ficando cada vez mais refinados. Já vimos e discutimos sobre o conceito de população. Vimos que populações (sejam de animais, vegetais, bactérias, insetos, etc.) interagem entre si formando cadeias as vezes muito complexas. Em certas vezes, as espécies podem se comportar como populações não interagentes, outras vezes não, elas interagem entre si. Vamos analisar alguns tipos de interações entre espécies, de início discutiremos somente interações entre duas espécies.

São três os tipos essenciais de interação entre duas espécies: predação, competição e mutualismo. Lembra desses conceitos? Bem, vale relembrar:

PREDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa.

COMPETIÇÃO: a presença de (A) é prejudicial a (B) e vice-versa.

SIMBIOSE OU MUTUALISMO: a presença de (A) é favorável a (B) e vice-versa.

Hoje iniciaremos a predação. Vamos analisar um modelo matemático que descreve esse tipo de interação entre as espécies, conhecido como Lotka-Volterra. Então, vamos lá? Tendo como N(t) o número de predadores, V(t) o número de presas e a, b, c e d constantes positivas, analisaremos. O número de presas na ausência de predadores, deve crescer como no modelo de Malthus. Então, temos que a taxa de crescimento das presas seria:

Porém, se acrescentarmos predadores ao meio, o número de presas deve cair, correto? Logo, a taxa de crescimento das presas deve diminuir, e para isso temos que introduzir um termo na nossa equação que faça com que a taxa de crescimento diminua. Acrescentando esse termo, temos:

Note que P é o número de predadores, como já foi dito. Note também que o termo introduzido, realmente serve como um "freio" à taxa de crescimento das presas, afinal é um parâmetro negativo. Se lembram da nossa primeira equação, a de Malthus, apresentada nos primeiros posts? Bem, o termo entre parênteses na equação acima seria o nosso "r" naquela equação (vale a pena voltar e fazer essa analogia).

E os predadores, como deve ser sua taxa de crescimento? Vocês concordam que a taxa de crescimento dos predadores deve decrescer na ausência de presas? Faz sentido, afinal se a taxa de crescimento das presas aumenta com a ausência de predadores, de forma análoga a ausência de presas deve diminuir a taxa de crescimento dos predadores. Lógico não é? Eis como seria a equação dos predadores:

O sinal negativo indica que a taxa decresce na ausência de presas. Porém, se acrescentarmos presas ao meio, o número de predadores deve aumentar, e para isso temos que introduzir um termo na nossa equação que possibilite esse crescimento, da seguinte forma:

Note que V indica o número de predadores, como já foi dito. As duas equações apresentadas são conhecidas como equações de Lotka-Volterra. Temos agora duas equações, mas não temos soluções. Essas equações não tem soluções em termo de funções elementares, temos então dois meios de se achar as soluções: integração numérica das equações ou análise qualitativa.

Bem, veja o que vai ser feito, das duas equações:

Dividindo a segunda pela primeira, obtemos:

Integrando ambos os lados, obtemos:

Onde H é uma constante. A equação encontrada acima é uma relação que deve ser obedecida por todas as soluções do sistema de Lotka-Volterra. Para cada valor de H podemos traçar no plano P x V o lugar geométrico dos pontos que obedecem a equação acima. Como você imagina que seriam esses pontos? Até agora, deu pra concluir que o número de presas depende do número de predadores, e vice-versa, como em um ciclo periódico, onde quando o número de presas é grande, ele tende a diminuir na presença de predadores e, consequentemente, o número de predadores aumenta. Porém, a partir do momento que o número de presas diminui, o número de predadores também deve diminuir, devido a ausência de presas e, consequentemente, o número de presas volta a crescer. Faz sentido! Super legal isso não é? Imagine agora como seria isso graficamente, é o assunto do próximo post. Até lá!