segunda-feira, 21 de setembro de 2009

Dinâmica das Populações: Equação Logística

Bem pessoal, paramos na equação inicial do crescimento populacional. Nosso ponto de partida foi dado. E como era de se esperar, nosso primeiro problema também. Afinal, chegamos a conclusão que seria muito improvável uma população crescer de forma exponencial infinitamente, certo?
Evidentemente, isso não ocorre. De fato, no inicio de seu crescimento, nos estágios iniciais de crescimento, as populações tendem a um crescimento exponencial. Logo, para pequenas populações, o modelo malthusiano é válido. Mas para grandes populações, o crescimento deve ser impedido por algum fator que impeça o crescimento desenfreado do número de indivíduos, ou seja, algo deve conter essa taxa de crescimento.
Veja os dois gráficos abaixo.




Como vocês podem perceber nos gráficos, realmente, em seus estágios iniciais, as populações crescem de forma exponencial (nosso modelo satisfaz essa fase). E logo após atigirem niveis elevados, o crescimento é amenizado, tendendo ao equilibrio.
Para que nosso modelo atenda a essa realidade, devemos modificar a equação de Malthus, introduzindo um termo de saturação do crescimento.
De
acrescentamos o termo de saturação do crescimento


Notem que o termo –bN2 é sempre negativo (assumimos b > 0).
Logo, vocês podem deduzir que se o termo acrescentado é sempre negativo, ele tende a fazer com que dN/dt diminua. Notem também que se N/K for muito pequeno (N/K muito menor do que 1), recuperamos nossa equação inicial. Isso é bom, mostra que estamos indo no caminho certo.
Bem, temos agora que encontrar a nova equação, afinal é isso que estamos procurando: adequar a equação encontrada inicialmente (que descreve um crescimento exponencial) por uma que se encaixe melhor à realidade do que acontece na natureza. Então vamos lá.
Desenvolvendo a equação logistica, encontramos:

Pronto, integrando esse modelo, encontramos a equação que descreve o crescimento populacional.


Ai está! Como vocês acham que seria o gráfico de uma função como essa? Será que ela realmente atende ao nosso trabalho de tentar descobrir um modelo para explicitar matematicamente a dinâmica da taxa de crescimento das populações? No próximo post analisaremos o gráfico dessa função e suas implicações, certo? Até lá!


4 comentários:

  1. Imagine só se esse crescimento exponencial das populações n fosse interrompido! rsrsr, faltaria Terra p tanta vida. Perceba como as catástrofes também tem papel biológico, rsrsrs, n deixa de ser um mecanismo de regulação, entre os muitos existentes.

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  2. O fatores r e K estão relacionados a que? taxas de natalidade e mortalidade da população? Se for isso é possível também analisar faixas de estabilidade para estes valores, pontos críticos para os quais a população crescerá indefinidamente, ou se diminuirá até se extinguir.
    Outra coisa, pra mim medidas de populações são valores discretos em t. Por que os gráficos são contínuos? Não seria mais conveniente aplicar modelos discretos (equações de diferenças, ou invés de diferenciais, sei lá). No mais, tá debulhando.

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  3. Boa indagação. Na próxima postagem, com a analise de gráfico, poderemos estender bem estes conceitos.
    Ah, e os gráficos são continuos sim. Pense bem, em condições favoráveis, sem que haja disturbios externos, a população tende a manter esse equilibrio infinitamtente. Claro que isso nao ocorre, mas até agora nós não discutimos isso, ainda vem por ai competição, efeitos naturais, epidemias... enfim! Continuem acompanhando.

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  4. Um modelo discreto seria menos abrangente do que o continuo (?), alguns podem discordar, fica ai um bom ponto pra discussão também.

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