Dinâmica das Populações: Análise Gráfica da Equação Logística

E ai pessoal, iniciamos a semana. Bem, na última postagem encontramos a equação logística de crescimento populacional. Hoje, vamos discutir o gráfico dessa função. Será que ele realmente descreve o crescimento populacional? Ou melhor, será ele bom o suficiente para demonstrar o crescimento populacional em geral? Vamos ver, vamos ver...

Equação Logística

Gráfico

Pronto, está apresentado o gráfico da equação logística. Condiz com o que vocês pensaram? Bem, quando discutimos o modelo de Malthus (lá no primeiro post), chegamos a conclusão que crescimento exponencial infinitamente é impensável (muito pouco provável). Logo, chegamos ao nosso primeio problema, de que teriamos que inserir um parâmetro na equação, que impedisse esse crescimento desenfreado. Pensando dessa forma, chegamos a equação logistica (apresentada no segundo post).

Analisando graficamente, percebemos que a equação não mantem o crescimento exponencial, tendo um limite em K. Chegamos, aparentemente, a uma solução do nosso primeiro problema, afinal em um certo ponto, o crescimento tende a um equilibrio, graficamente percebemos isso. Concordam?

De fato, o que foi dito condiz com a realidade. O termo K que aparece na equação logistica é conhecido como capacidade de suporte do meio, ou seja, seu potencial biótico. Lembram do conceito biológico disso? Relembrem:

"É a capacidade de uma população de aumentar os números de seus indivíduos, em condições favoráveis e ilimitadas de recursos. O potencial biótico é um fator essencial que varia de acordo com cada espécie animal ou vegetal. Os coelhos tem um potencial biótico superior ao dos carneiros, pois apresentam normalmente uma alta taxa de reprodução. Dizemos que as condições ambientais atingem um ponto ótimo quando uma espécie consegue se desenvolver e reproduzir em sua plenitude." (Tirado de http://www.coladaweb.com/biologia/ecologia/meio-ambiente)

O potencial biótico nada mais é que a capacidade que cada população tem de atingir seu máximo ponto de crescimento/equilibrio/tamanho no meio em que foi estudada. Analisem o gráfico agora novamente. Percebem que K é uma assintota da função, impedindo que ela ultrapasse aquele ponto?

Quando se atinge o potencial biótico, a população atinge um equilibrio em que natalidade e mortalidade igualam-se. Desse modo há um equilibrio também entre o meio e a população, sendo assim, uma alteração do meio pode gerar um desequilibrio no crescimento populacional.

Dependendo dos fatores externos e se essa troca entre meio e população não for continua, com o tempo, o equilibrio é restabelecido novamente, em outro nivel.

Note que esse quilibrio é mais facilmente alcançado em ecossistemas mais complexos, onde as pequenas alterações são facilmente absorvidas e não geram consequências mais desastrosas ao equilibrio. Tudo isso fica mais fácil de se observar quando se associa o que acontece ao nosso redor ao que estamos tentando estabelecer aqui.

Temos um bom caminho andado, não é? Será que só isso basta pra descrever todo tipo de crescimento populacional? Notem que conceitos como COMPETIÇÃO, PREDAÇÃO, MUTUALISMO, INFLUÊNCIAS MAIS DIRETAS DO MEIO ainda não foram introduzidos nas nossas equações! Se a natureza fosse regida somente pelo que já foi dito, tudo seria muito simples, e muito previsível também. Na engenharia, utilizamos os estudos da curva logistica (curva do gráfico apresentado nesse post) na previsão de demandas futuras de sistemas para estimar a população futura.

Analisando as vantagens do modelo logístico:

- Ele é simples e solúvel.

- Ele permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.

- Ele aproxima bem alguns dos fenômenos observados na natureza.

Desvantagens do modelo logístico:

- Ele é simples demais.

- Muito da dinâmica que se observa não é compatível com ela.

Muita coisa falta ser analisada, animais competem uns com os outros, espécies se alimentam umas das outras, e por ai vai. No próximo post começaremos a análise disso, começaremos com a abordagem sobre espécies interagentes e suas consequências. Então, até lá pessoal!

Dinâmica das Populações: Equação Logística

Bem pessoal, paramos na equação inicial do crescimento populacional. Nosso ponto de partida foi dado. E como era de se esperar, nosso primeiro problema também. Afinal, chegamos a conclusão que seria muito improvável uma população crescer de forma exponencial infinitamente, certo?

Evidentemente, isso não ocorre. De fato, no inicio de seu crescimento, nos estágios iniciais de crescimento, as populações tendem a um crescimento exponencial. Logo, para pequenas populações, o modelo malthusiano é válido. Mas para grandes populações, o crescimento deve ser impedido por algum fator que impeça o crescimento desenfreado do número de indivíduos, ou seja, algo deve conter essa taxa de crescimento.

Veja os dois gráficos abaixo.

Como vocês podem perceber nos gráficos, realmente, em seus estágios iniciais, as populações crescem de forma exponencial (nosso modelo satisfaz essa fase). E logo após atigirem niveis elevados, o crescimento é amenizado, tendendo ao equilibrio.

Para que nosso modelo atenda a essa realidade, devemos modificar a equação de Malthus, introduzindo um termo de saturação do crescimento.

De

acrescentamos o termo de saturação do crescimento

Notem que o termo –bN^{2 é sempre negativo (assumimos b > 0).}

Logo, vocês podem deduzir que se o termo acrescentado é sempre negativo, ele tende a fazer com que dN/dt diminua. Notem também que se N/K for muito pequeno (N/K muito menor do que 1), recuperamos nossa equação inicial. Isso é bom, mostra que estamos indo no caminho certo.

Bem, temos agora que encontrar a nova equação, afinal é isso que estamos procurando: adequar a equação encontrada inicialmente (que descreve um crescimento exponencial) por uma que se encaixe melhor à realidade do que acontece na natureza. Então vamos lá.

Desenvolvendo a equação logistica, encontramos:

Pronto, integrando esse modelo, encontramos a equação que descreve o crescimento populacional.

Ai está! Como vocês acham que seria o gráfico de uma função como essa? Será que ela realmente atende ao nosso trabalho de tentar descobrir um modelo para explicitar matematicamente a dinâmica da taxa de crescimento das populações? No próximo post analisaremos o gráfico dessa função e suas implicações, certo? Até lá!

A Dinâmica das Populações: o início

Bom, para iniciar a apresentação do trabalho temos que discutir alguns conceitos biológicos. Estranho não é? Logo na primeira postagem falarmos sobre Biologia e não sobre Fisica. Já já vocês vão perceber que o intuito é aproximar essas duas áreas, de uma maneira bem simples, aplicando os conceitos à dinâmica das populações.

Nessa primeira abordagem, vale a pena discutir o conceito de População. É aquilo que você tá pensando mesmo, aquele conceito biológico que vimos desde nosso ensino fundamental, que nos diz: população é o conjunto de individuos da mesma espécie, que interferem uns aos outros, se reproduzindo, morrendo, crescendo ou diminuindo em quantidade (em uma abordagem bem simples). Eles tem características próprias, como densidade, taxas de natalidade e mortalidade, relações de interdependência, distribuição etária, potencial biótico e dispersão. Estes conceitos vão ser absorvidos no decorrer do trabalho.

Bem, ai vem o nosso ponto de partida. Como fariamos para analisar a taxa de crescimento de uma população? Leiam o trecho abaixo.

"Em Dinâmica Populacional as informações biológicas são transformadas em hipóteses teóricas básicas que alimentam conceitualmente um modelo matemático dinâmico, não tendo por objetivo apenas descrever a história “passada” do sistema, mas sim prever os “estados futuros e ainda não observados” do mesmo. Um modelo matemático com este espaço de fase, deve estabelecer uma dinâmica que determine as populações (quantidade de indivíduos) futuras, uma vez conhecida a população atual. (CASTRO, 2003)"

Ou seja, há como prever o crescimento de uma determinada população através de um modelo matemático. Este modelo seria bem simples.

Pronto, apresento-lhes a equação diferencial que descreve a taxa de variação de crescimento das populações em função do tempo. É o conhecido modelo de Malthus. N(t) é o numero de indivíduos da população em uma faixa de tempo e r é a taxa de crescimento dessa população (ou potencial biótico da população). É interessante notar como uma abordagem tão complexa, como a taxa de crescimento de uma população, pode ser abordada em uma equação diferencial tão simples.

Bem, falta agora descobrir qual seria a função que descreve esse crescimento, não é? Para isso, basta integrar essa equação diferencial de ambos os lados, encontrando a seguinte função:

Ai está. Essa é a função que descreve a taxa de crescimento das populações. Simples, não é verdade? Mas veja só, analisando essa equação, verificamos de cara que ela é exponencial! Ou melhor, o que ela está nos dizendo é que as populações crescem de forma exponencial. Isso é verdade? Veja o gráfico abaixo.

Esse gráfico descreve um tipo da função encontrada, crescimento vs tempo.

É como se as populações crescessem sem limite. E é claro que isso não é possível, caso contrário uma bactéria cobriria a Terra de descendentes em 36 horas, e um paramécio produziria, em alguns dias, um volume de protoplasma dez mil vezes maior que o volume da Terra. E agora? Será o nosso modelo errôneo?

Algo deve ser acrescentado a esse modelo/função para que ele seja fiel ao que ocorre realmente na natureza. Mas o que?

Na próxima postagem, analisaremos isso, até lá pessoal!

N° 1

Opa, estou montando o blog pra poder publicar o que venho desenvolvendo nos meus projetos de iniciação cientifica. De início, postarei a respeito do que estou trabalhando agora, A Fisíca Aplicada à Dinâmica e Modelagem de Populações. Mas não vou ficar preso a isso, esperem de tudo um pouco. Posteriormente, poderei pubicar futuros projetos. Bem, é isso ai! Continuem lendo.