Dinâmica das Populações: Espécies Interagentes II (Análise Gráfica)

Bem pessoal, estamos de volta. Nossa última abordagem consistiu na análise de equações de espécies interagentes, onde as relações encontradas devem ser obedecidas por todas as soluções do sistema de Lotka-Volterra (releia post anterior). Chegamos a uma relação que descreveria o comportamento do crescimento (ou decrescimento) populacional de presas e predadores. A pergunta que ficou no ar foi como a equação encontrada se comportaria graficamente, em um plano de fase. Vamos ver vamos ver...

A equação encontrada foi a seguinte:

Onde H é uma constante.

Para cada valor de H podemos traçar no plano P x V o lugar geométrico dos pontos que obedecem a equação acima. Mas como seria isso graficamente?

Bem, ai está o comportamento gráfico da nossa equação. No eixo y temos o número de predadores e no eixo x temos o número de presas. Faz sentido com o que discutimos no post passado? Lá, nós tinhamos chegado a conclusão de que o número de presas depende do número de predadores, e vice-versa. Quando o número de presas é grande, ele tende a diminuir na presença de predadores e, consequentemente, o número de predadores aumenta. Porém, a partir do momento que o número de presas diminui, o número de predadores também deve diminuir, devido a ausência de presas. Logo, com a diminuição de predadores, o número de presas volta a aumentar! EM UM CICLO PERIÓDICO! E é justamente isso que vemos no gráfico.

O plano P x V, como já foi dito, é conhecido como plano de fase, ou de espaço de fase. As curvas são conhecidas como trajetórias ou de órbitas. No caso exposto no gráfico, temos órbitas fechadas.

Tome um ponto no espaço de fase. Ele representa um certo número de presas e predadores. Por este ponto passa uma curva. Com o correr do tempo, estas populações evoluem percorrendo a curva no espaço de fase. Depois de um certo tempo, voltarão à situação inicial. O sistema é periódico.

Vamos tratar de uma forma mais simples, observe a figura abaixo:

Note que na figura tomamos um ponto no plano P x V e o seguimos no tempo. Vamos ver como evolui a variável V (as presas, eixo x):

- de 1 até 3 seu número aumenta;

- de 3 até 8 seu número diminui;

- e de 8 até 3 aumenta de novo e assim por diante.

Logo, percebemos que o número de presas e o número de predadores oscila periodicamente no tempo. Veja como tudo se encaixa com o que foi dito anteriormente. Tudo muito bonito.

As equações de Lotka-Volterra nos dizem que seja um número pequeno de predadores e um certo número de presas, com disponibilidade de presas, o número de predadores vai aumentando. As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Depois de um certo tempo, começam a diminuir. Após um certo tempo, o predadores atingem o seu máximo, e por falta de comida começam a diminuir também. Depois de alcançarem seu número mínimo, as presas começam a se recuperar, pois o número de predadores já é menor. E assim por diante, em um ciclo periódico.

Tendo em vista a funcionalidade das equações de Lotka-Volterra, chegamos a seguinte questão, as equações descrevem situações reais? Bem, em parte sim. Mas fica claro que ela tem alguns elementos irrealistas.

- O crescimento das presas na ausência de predadores seria exponencial e não logístico. Não contém mecanismos de saturação

- Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV - d). Quanto maior V, maior a taxa de crescimento. Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature. Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas.

- Equações levando isto em conta podem ser escritas. De uma forma geral, continuamos tendo oscilações.

De modo que podemos tirar da equação de Lotka-Volterra o seguinte: apesar de ser um modelo sobressimplificado da dinâmica de predadores e presas, ela captura uma feição geral, que é a existência de oscilações, ou em outras palavras, de periodicidade. Em suma, as equações de Lotka-Volterra são antes um ponto de partida do que um ponto de chegada na construção de modelos matemáticos envolvendo predação. Até a próxima pessoal!

Dinâmica das Populações: Espécies Interagentes

E ai pessoal, estamos de volta ao trabalho. Bem, até onde discutimos chegamos a equação logística. Falamos sobre suas utilidades, analisamos graficamente e por fim abordamos algumas de suas limitações. Até agora, temos um bom arsenal para trabalharmos com a dinâmica das populações, mas como já foi dito no post anterior, muita coisa ainda falta ser introduzida nas nossas discussões.

Nessa semana introduziremos os conceitos de espécies interagentes. Nossos calculos vão ficando cada vez mais refinados. Já vimos e discutimos sobre o conceito de população. Vimos que populações (sejam de animais, vegetais, bactérias, insetos, etc.) interagem entre si formando cadeias as vezes muito complexas. Em certas vezes, as espécies podem se comportar como populações não interagentes, outras vezes não, elas interagem entre si. Vamos analisar alguns tipos de interações entre espécies, de início discutiremos somente interações entre duas espécies.

São três os tipos essenciais de interação entre duas espécies: predação, competição e mutualismo. Lembra desses conceitos? Bem, vale relembrar:

PREDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa.

COMPETIÇÃO: a presença de (A) é prejudicial a (B) e vice-versa.

SIMBIOSE OU MUTUALISMO: a presença de (A) é favorável a (B) e vice-versa.

Hoje iniciaremos a predação. Vamos analisar um modelo matemático que descreve esse tipo de interação entre as espécies, conhecido como Lotka-Volterra. Então, vamos lá? Tendo como N(t) o número de predadores, V(t) o número de presas e a, b, c e d constantes positivas, analisaremos. O número de presas na ausência de predadores, deve crescer como no modelo de Malthus. Então, temos que a taxa de crescimento das presas seria:

Porém, se acrescentarmos predadores ao meio, o número de presas deve cair, correto? Logo, a taxa de crescimento das presas deve diminuir, e para isso temos que introduzir um termo na nossa equação que faça com que a taxa de crescimento diminua. Acrescentando esse termo, temos:

Note que P é o número de predadores, como já foi dito. Note também que o termo introduzido, realmente serve como um "freio" à taxa de crescimento das presas, afinal é um parâmetro negativo. Se lembram da nossa primeira equação, a de Malthus, apresentada nos primeiros posts? Bem, o termo entre parênteses na equação acima seria o nosso "r" naquela equação (vale a pena voltar e fazer essa analogia).

E os predadores, como deve ser sua taxa de crescimento? Vocês concordam que a taxa de crescimento dos predadores deve decrescer na ausência de presas? Faz sentido, afinal se a taxa de crescimento das presas aumenta com a ausência de predadores, de forma análoga a ausência de presas deve diminuir a taxa de crescimento dos predadores. Lógico não é? Eis como seria a equação dos predadores:

O sinal negativo indica que a taxa decresce na ausência de presas. Porém, se acrescentarmos presas ao meio, o número de predadores deve aumentar, e para isso temos que introduzir um termo na nossa equação que possibilite esse crescimento, da seguinte forma:

Note que V indica o número de predadores, como já foi dito. As duas equações apresentadas são conhecidas como equações de Lotka-Volterra. Temos agora duas equações, mas não temos soluções. Essas equações não tem soluções em termo de funções elementares, temos então dois meios de se achar as soluções: integração numérica das equações ou análise qualitativa.

Bem, veja o que vai ser feito, das duas equações:

Dividindo a segunda pela primeira, obtemos:

Integrando ambos os lados, obtemos:

Onde H é uma constante. A equação encontrada acima é uma relação que deve ser obedecida por todas as soluções do sistema de Lotka-Volterra. Para cada valor de H podemos traçar no plano P x V o lugar geométrico dos pontos que obedecem a equação acima. Como você imagina que seriam esses pontos? Até agora, deu pra concluir que o número de presas depende do número de predadores, e vice-versa, como em um ciclo periódico, onde quando o número de presas é grande, ele tende a diminuir na presença de predadores e, consequentemente, o número de predadores aumenta. Porém, a partir do momento que o número de presas diminui, o número de predadores também deve diminuir, devido a ausência de presas e, consequentemente, o número de presas volta a crescer. Faz sentido! Super legal isso não é? Imagine agora como seria isso graficamente, é o assunto do próximo post. Até lá!

Dinâmica das Populações: Análise Gráfica da Equação Logística

E ai pessoal, iniciamos a semana. Bem, na última postagem encontramos a equação logística de crescimento populacional. Hoje, vamos discutir o gráfico dessa função. Será que ele realmente descreve o crescimento populacional? Ou melhor, será ele bom o suficiente para demonstrar o crescimento populacional em geral? Vamos ver, vamos ver...

Equação Logística

Gráfico

Pronto, está apresentado o gráfico da equação logística. Condiz com o que vocês pensaram? Bem, quando discutimos o modelo de Malthus (lá no primeiro post), chegamos a conclusão que crescimento exponencial infinitamente é impensável (muito pouco provável). Logo, chegamos ao nosso primeio problema, de que teriamos que inserir um parâmetro na equação, que impedisse esse crescimento desenfreado. Pensando dessa forma, chegamos a equação logistica (apresentada no segundo post).

Analisando graficamente, percebemos que a equação não mantem o crescimento exponencial, tendo um limite em K. Chegamos, aparentemente, a uma solução do nosso primeiro problema, afinal em um certo ponto, o crescimento tende a um equilibrio, graficamente percebemos isso. Concordam?

De fato, o que foi dito condiz com a realidade. O termo K que aparece na equação logistica é conhecido como capacidade de suporte do meio, ou seja, seu potencial biótico. Lembram do conceito biológico disso? Relembrem:

"É a capacidade de uma população de aumentar os números de seus indivíduos, em condições favoráveis e ilimitadas de recursos. O potencial biótico é um fator essencial que varia de acordo com cada espécie animal ou vegetal. Os coelhos tem um potencial biótico superior ao dos carneiros, pois apresentam normalmente uma alta taxa de reprodução. Dizemos que as condições ambientais atingem um ponto ótimo quando uma espécie consegue se desenvolver e reproduzir em sua plenitude." (Tirado de http://www.coladaweb.com/biologia/ecologia/meio-ambiente)

O potencial biótico nada mais é que a capacidade que cada população tem de atingir seu máximo ponto de crescimento/equilibrio/tamanho no meio em que foi estudada. Analisem o gráfico agora novamente. Percebem que K é uma assintota da função, impedindo que ela ultrapasse aquele ponto?

Quando se atinge o potencial biótico, a população atinge um equilibrio em que natalidade e mortalidade igualam-se. Desse modo há um equilibrio também entre o meio e a população, sendo assim, uma alteração do meio pode gerar um desequilibrio no crescimento populacional.

Dependendo dos fatores externos e se essa troca entre meio e população não for continua, com o tempo, o equilibrio é restabelecido novamente, em outro nivel.

Note que esse quilibrio é mais facilmente alcançado em ecossistemas mais complexos, onde as pequenas alterações são facilmente absorvidas e não geram consequências mais desastrosas ao equilibrio. Tudo isso fica mais fácil de se observar quando se associa o que acontece ao nosso redor ao que estamos tentando estabelecer aqui.

Temos um bom caminho andado, não é? Será que só isso basta pra descrever todo tipo de crescimento populacional? Notem que conceitos como COMPETIÇÃO, PREDAÇÃO, MUTUALISMO, INFLUÊNCIAS MAIS DIRETAS DO MEIO ainda não foram introduzidos nas nossas equações! Se a natureza fosse regida somente pelo que já foi dito, tudo seria muito simples, e muito previsível também. Na engenharia, utilizamos os estudos da curva logistica (curva do gráfico apresentado nesse post) na previsão de demandas futuras de sistemas para estimar a população futura.

Analisando as vantagens do modelo logístico:

- Ele é simples e solúvel.

- Ele permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.

- Ele aproxima bem alguns dos fenômenos observados na natureza.

Desvantagens do modelo logístico:

- Ele é simples demais.

- Muito da dinâmica que se observa não é compatível com ela.

Muita coisa falta ser analisada, animais competem uns com os outros, espécies se alimentam umas das outras, e por ai vai. No próximo post começaremos a análise disso, começaremos com a abordagem sobre espécies interagentes e suas consequências. Então, até lá pessoal!

Dinâmica das Populações: Equação Logística

Bem pessoal, paramos na equação inicial do crescimento populacional. Nosso ponto de partida foi dado. E como era de se esperar, nosso primeiro problema também. Afinal, chegamos a conclusão que seria muito improvável uma população crescer de forma exponencial infinitamente, certo?

Evidentemente, isso não ocorre. De fato, no inicio de seu crescimento, nos estágios iniciais de crescimento, as populações tendem a um crescimento exponencial. Logo, para pequenas populações, o modelo malthusiano é válido. Mas para grandes populações, o crescimento deve ser impedido por algum fator que impeça o crescimento desenfreado do número de indivíduos, ou seja, algo deve conter essa taxa de crescimento.

Veja os dois gráficos abaixo.

Como vocês podem perceber nos gráficos, realmente, em seus estágios iniciais, as populações crescem de forma exponencial (nosso modelo satisfaz essa fase). E logo após atigirem niveis elevados, o crescimento é amenizado, tendendo ao equilibrio.

Para que nosso modelo atenda a essa realidade, devemos modificar a equação de Malthus, introduzindo um termo de saturação do crescimento.

De

acrescentamos o termo de saturação do crescimento

Notem que o termo –bN^{2 é sempre negativo (assumimos b > 0).}

Logo, vocês podem deduzir que se o termo acrescentado é sempre negativo, ele tende a fazer com que dN/dt diminua. Notem também que se N/K for muito pequeno (N/K muito menor do que 1), recuperamos nossa equação inicial. Isso é bom, mostra que estamos indo no caminho certo.

Bem, temos agora que encontrar a nova equação, afinal é isso que estamos procurando: adequar a equação encontrada inicialmente (que descreve um crescimento exponencial) por uma que se encaixe melhor à realidade do que acontece na natureza. Então vamos lá.

Desenvolvendo a equação logistica, encontramos:

Pronto, integrando esse modelo, encontramos a equação que descreve o crescimento populacional.

Ai está! Como vocês acham que seria o gráfico de uma função como essa? Será que ela realmente atende ao nosso trabalho de tentar descobrir um modelo para explicitar matematicamente a dinâmica da taxa de crescimento das populações? No próximo post analisaremos o gráfico dessa função e suas implicações, certo? Até lá!

A Dinâmica das Populações: o início

Bom, para iniciar a apresentação do trabalho temos que discutir alguns conceitos biológicos. Estranho não é? Logo na primeira postagem falarmos sobre Biologia e não sobre Fisica. Já já vocês vão perceber que o intuito é aproximar essas duas áreas, de uma maneira bem simples, aplicando os conceitos à dinâmica das populações.

Nessa primeira abordagem, vale a pena discutir o conceito de População. É aquilo que você tá pensando mesmo, aquele conceito biológico que vimos desde nosso ensino fundamental, que nos diz: população é o conjunto de individuos da mesma espécie, que interferem uns aos outros, se reproduzindo, morrendo, crescendo ou diminuindo em quantidade (em uma abordagem bem simples). Eles tem características próprias, como densidade, taxas de natalidade e mortalidade, relações de interdependência, distribuição etária, potencial biótico e dispersão. Estes conceitos vão ser absorvidos no decorrer do trabalho.

Bem, ai vem o nosso ponto de partida. Como fariamos para analisar a taxa de crescimento de uma população? Leiam o trecho abaixo.

"Em Dinâmica Populacional as informações biológicas são transformadas em hipóteses teóricas básicas que alimentam conceitualmente um modelo matemático dinâmico, não tendo por objetivo apenas descrever a história “passada” do sistema, mas sim prever os “estados futuros e ainda não observados” do mesmo. Um modelo matemático com este espaço de fase, deve estabelecer uma dinâmica que determine as populações (quantidade de indivíduos) futuras, uma vez conhecida a população atual. (CASTRO, 2003)"

Ou seja, há como prever o crescimento de uma determinada população através de um modelo matemático. Este modelo seria bem simples.

Pronto, apresento-lhes a equação diferencial que descreve a taxa de variação de crescimento das populações em função do tempo. É o conhecido modelo de Malthus. N(t) é o numero de indivíduos da população em uma faixa de tempo e r é a taxa de crescimento dessa população (ou potencial biótico da população). É interessante notar como uma abordagem tão complexa, como a taxa de crescimento de uma população, pode ser abordada em uma equação diferencial tão simples.

Bem, falta agora descobrir qual seria a função que descreve esse crescimento, não é? Para isso, basta integrar essa equação diferencial de ambos os lados, encontrando a seguinte função:

Ai está. Essa é a função que descreve a taxa de crescimento das populações. Simples, não é verdade? Mas veja só, analisando essa equação, verificamos de cara que ela é exponencial! Ou melhor, o que ela está nos dizendo é que as populações crescem de forma exponencial. Isso é verdade? Veja o gráfico abaixo.

Esse gráfico descreve um tipo da função encontrada, crescimento vs tempo.

É como se as populações crescessem sem limite. E é claro que isso não é possível, caso contrário uma bactéria cobriria a Terra de descendentes em 36 horas, e um paramécio produziria, em alguns dias, um volume de protoplasma dez mil vezes maior que o volume da Terra. E agora? Será o nosso modelo errôneo?

Algo deve ser acrescentado a esse modelo/função para que ele seja fiel ao que ocorre realmente na natureza. Mas o que?

Na próxima postagem, analisaremos isso, até lá pessoal!

N° 1

Opa, estou montando o blog pra poder publicar o que venho desenvolvendo nos meus projetos de iniciação cientifica. De início, postarei a respeito do que estou trabalhando agora, A Fisíca Aplicada à Dinâmica e Modelagem de Populações. Mas não vou ficar preso a isso, esperem de tudo um pouco. Posteriormente, poderei pubicar futuros projetos. Bem, é isso ai! Continuem lendo.